ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Una ecuación trigonométrica es una ecuación que contiene una o varias funciones trigonométricas de la variable trigonométrica del arco x. Despejar “x” significa encontrar los valores de los arcos trigonométricos, cuyas funciones trigonométricas hacen que la ecuación trigonométrica sea correcta.

• Las respuestas, o valores de los arcos de solución, se expresan en grados o radianes. Ejemplos:

x = Pi/3; x = 5Pi/6; x = 3Pi/2; x = 45⁰; x = 37,12⁰; x = 178,37⁰

• Nota: en la circunferencia trigonométrica o circunferencia unitaria, las funciones trigonométricas de cualquier arco son las mismas funciones trigonométricas del ángulo correspondiente. La circunferencia unitaria define todas las funciones trigonométricas del arco variable x. También, se usa como demostración en la resolución de ecuaciones y desigualdades trigonométricas básicas.
• Ejemplos de ecuaciones trigonométricas:
  • sen x + sen 2x = 1/2; tg x + cotg x = 1,732;
  • cos 3x + sen 2x = cos x; 2sen 2x + cos x = 1 .

1. La circunferencia unitaria.
   • Es una circunferencia con radio = 1 unidad y O como origen. La circunferencia unitaria define 4 funciones trigonométricas principales del arco variable x que rota en sentido antihorario en él.
   • Cuando el arco con valor x varía en la circunferencia unitaria:
   • El eje horizontal OAx define la función trigonométrica f(x) = cos x.
   • El eje vertical OBy define la función trigonométrica f(x) = sen x.
   • El eje vertical AT define la función trigonométrica f(x) = tg x.
   • El eje horizontal BU define la función trigonométrica f(x) = cotg x.

PROBLEMA DE APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Paso 2: Relaciona y aplica funciones trigonométricas:

            Sea el ángulo C, el ángulo base, se determina:

            a) Cateto Opuesto = AB = Altura del edificio = h

            b) Cateto Adyacente = BC = distancia = 18 metros.

            c) Ángulo = 54°

            d) Función trigonométrica que relaciona el cateto opuesto y el cateto adyacente 

                es la función Tangente.

Paso 5: La respuesta sería:

La altura del edificio según la posición del observador es de 24.77 metros, a ello, hay que sumarle la altura del observador, lo que nos proporciona:

Altura Total h = 24.77 metros + 1.72 metros = 26.49 metros.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Si queremos representar en forma gráfica una función trigonométrica tomamos los va,ores de la variable independiente como abscisas y los valores de la función como ordenadas, obteniendo así una serie de puntos, los que al unirlos nos dará una línea que será la representación gráfica de la función. 

Uso de la función seno: ésta se usa cuando en un triángulo rectángulo se conoce un ángulo agudo y el cateto opuesto, o un ángulo agudo y la hipotenusa, o el cateto opuesto al ángulo dado.

Uso de la función coseno: si en un triángulo rectángulo conocemos un ángulo agudo y el cateto adyacente, o un ángulo agudo y la hipotenusa.

Podemos calcular el cateto adyacente al ángulo dado y la hipotenusa usando esta función.

Uso de la función tangente: si en un triángulo rectángulo conocemos un cateto y el ángulo adyacente a él podemos calcular el otro cateto.

Uso de la función cotangente: por lo tanto en todo triángulo rectángulo  si conocemos un cateto y su ángulo opuesto podemos calcular el valor del otro mediante ésta.

Uso de la función secante: ésta se usa cuando se tiene lo contrario que en la función coseno.

Uso de la función cosecante: ésta se usa cuando se tiene lo contrario a la función seno.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de triángulo  rectángulo asociado a sus ángulos. También son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo  trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos e incluso a números complejos.

Existen seis funciones trigonométricas básicas:

1. Función seno ( Sen ): La función Seno nos describe la relación existente entre Lado Opuesto sobre la Hipotenusa: Su simbología es la siguiente:

2. Función Coseno ( Cos ): La Función Coseno describe la relación entre Lado Adyacente sobre la Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:

3. Función Tangente ( Tan ): Ésta Función nos representa la relación entre Lado Adyacente sobre Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:




También tenemos las Funciones que son inversas a las anteriores:



4. Función Cotangente ( Cot ): Que describe la relación entre Lado Adyacente con Lado Opuesto:

5.  Función Secante ( Sec ): Relación estre Hipotenusa sobre Lado Adyacente:

6. Función Cosecante (CsC): Nos muestra la relación entre Hipotenusa sobre Lado Opuesto.

APLICACIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.

PROBLEMA:
1) Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°.
SOLUCIÓN:




 PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE  ÁNGULOS DE DEPRESIÓN Y ELEVACIÓN.

PROBLEMA: ÁNGULO DE DEPRESIÓN:
Un faro tiene una altura que mide 55 m. El ángulo de depresión desde la cima delfaro haste elbarco en elmar es de 72°.
¿Qué tan lejos de la base del faro está elbarco?
SOLUCIÓN:
Si x representa a la distancia, entonces: 
tan 72°= x=
Luego, tan 72° = 3,077683537... por tanto, x = 17,87 m
RESPUESTA:
La distancia aproximada entre  elbarco y la basede latorre es de 17,87 m.


PROBLEMA: ÁNGULO DE ELEVACIÓN.

Una grúa que mide 2.5 m de alto; forma un ángulo de elevación de 21° con su palanca. El piso es horizontal. La grúa se encuentra a 100 m de la recta perpendicular a la palanca. Determinemos lamedida de la altura desde el suelo hasta el punto más alto de la palanca.

SOLUCIÓN:
tan 21° = x = 100 tan 21° para hallar la longitud de x
Luego, tan 21° =  0.383864035... por tanto, x = 38. 38m.

h= altura de la grúa + x h = 2.5 + 38.38  para hallar lalongitud de h 
Por tanto h= 40.88m.

ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN.

El término ángulo de elevación denota  al ángulo desde la horizontal hacia arriba a un objeto. Una línea de vista para el observador estaría sobre la horizontal.

El término ángulo de depresión denota al ángulo desde la horizontal hacia abajo a un objeto. Una línea de vista para elobservador estaría debajo de la horizontal.

Podemos observar que el ángulo de elevación y el ángulo de depresión son congruentes.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SE DEFINEN COMUNMENTE COMO EL COCIENTE ENTRE DOS LADOS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO ASOCIADO A SUS ÁNGULOS.

EXISTEN SEIS  FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:

SENO: Del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto  al ángulo y la hipotenusa.

Se donota por sen B:

COSENO: Coseno del ánguloB: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por cos B:

TANGENTE: Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto  contiguo al ángulo. Se donota por: tg B:

COSECANTE: Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B.

Se denota por cosec B:

SECANTE: Secante delánguloB: es larazón inversa del coseno B.

Sedenota por sec B:

COTANGENTE: Cotangente delángulo B: es la razón inversa de la tangente de B.

Se denota por: cotg B: